Estimation des normes des fonctions d'un opérateur

Authors: Ostermann, Maëva
Advisor: Ransford, Thomas Joseph
Abstract: Étant donné une matrice ou un opérateur, comprendre comment se comportent ses puissances et plus généralement le calcul fonctionnel, est un problème qui intervient dans de nombreux domaines. Pour les opérateurs normaux, le spectre fournit de précieuses informations sur la norme du calcul fonctionnel. Cependant, la situation est très différente pour les opérateurs non normaux. Dans cette thèse, nous étudions donc plusieurs alternatives au spectre pour contrôler la norme des puissances ou fonctions de matrices ou d'opérateurs non normaux. Dans un premier temps, on s’intéresse à l’image numérique, aux ensembles K-spectraux et plus précisément à la conjecture de Crouzeix. Posée par Crouzeix en 2004, celle-ci stipule que l’image numérique pourrait être un ensemble 2-spectral. [...]. Dans un second temps nous étudions le théorème de Kreiss et ses généralisations. Ce théorème permet de contrôler le supremum de la norme des puissances d’une matrice à l’aide de sa résolvante. Il a été généralisé aux polynômes et sur des domaines généraux par Toh et Trefethen puis pour les fonctions holomorphes sur le disque par Vitse. On étudie leurs résultats et on montre une inégalité de type Kreiss pour les fonctions rationnelles bornées sur des domaine sgénéraux [...]. Enfin, nous nous intéressons aux matrices ayant des pseudospectres identiques. Il est connu que les pseudospectres permettent de contrôler les normes des matrices à un facteur multiplicatif2 près. Mais l’histoire est vraiment différente pour les puissances supérieures comme le montre un résultat de Ransford. [...]
Document Type: Thèse de doctorat
Issue Date: 2021
Open Access Date: 20 September 2021
Permalink: http://hdl.handle.net/20.500.11794/70389
Grantor: Université Laval
Collection:Thèses et mémoires

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