La stabilité de l'espace des suites de carré sommable par rapport au produit de convolution

Auteur(s): Morneau-Guérin, Frédéric
Direction de recherche: Ransford, Thomas Joseph
Résumé: Étant donné G un groupe topologique localement compact, il est bien connu que l’espace L1(G) des fonctions absolument intégrables sur G est stable par rapport au produit de convolution et jouit même d’une structure d’algèbre de Banach. Mais il en va tout autrement pour les espaces Lp(G) avec p > 1 : le théorème de Saeki stipule que l’espace Lp(G) est stable par rapport au produit de convolution si et seulement si G est compact. Il existe cependant une façon d’infléchir le résultat dans un sens qui nous agrée : en modifiant la définition des normes k kp afin d’y introduire une pondération, à savoir une fonction w : G ! (0; 1), on peut parfois faire en sorte que l’espace ainsi obtenu – qu’on appelle l’espace w-pondéré des fonctions Lp(G) et qu’on note Lp(G; w) – soit stable par rapport au produit de convolution. Cette démarche soulève toutefois deux questions importantes : — Pour p > 1 fixé, quels sont les groupes topologiques localement compacts admettant au moins une pondération pour laquelle Lp(G; w) est stable par rapport au produit de convolution ? — Étant donné un tel groupe G, qu’est-ce qui caractérise les pondérations w : G ! (0; 1) pour lesquelles Lp(G; w) est stable par rapport au produit de convolution ? Bien qu’on ne dispose pas à ce jour de réponses complètes et définitives à ces deux questions, nous passerons en revue quelques récents progrès, sans prétendre à l’exhaustivité. Notre attention se focalisera principalement sur un problème émanant de la deuxième question : il est établi que toute pondération jouissant de la propriété nommée sous-convolutivité au sens faible donne lieu à un espace Lp(G; w) qui est stable par rapport au produit de convolution. Mais on connait désormais de nombreux exemples montrant que cette condition suffisante n’est pas nécessaire en général. Il existe cependant un type de groupes pour lequel la possibilité demeure que la sous-convolutivité au sens faible représente effectivement une caractérisation complète. Il s’agit des groupes abéliens discrets. La présente thèse de doctorat vise à élaborer de nouvelles approches pour aborder la question quant à savoir si, oui ou non, la sous-convolutivité au sens faible est une condition nécessaire et suffisante pour garantir la stabilité de Lp(G; w) par rapport au produit de convolution dans le cas particulier où G est un groupe abélien discret et p = 2. Dans la première partie de cette thèse, nous interprétons cette question à la lumière de la théorie des espaces de Hilbert à noyau reproduisant et obtiendrons une preuve substantiellement différente d’un résultat de Kuznetsova. La seconde partie de la thèse est consacrée à la reformulation de la question principale dans le cadre de la théorie des opérateurs. Ce faisant, nous formulons encore une autre démonstration significativement différente du théorème de Kuznetsova. L’approche développée nous permet également l’obtention d’estimations originales et celles-ci sont présentées en détail.

354402\u Given a locally compact topological group G, it is widely known that L1(G), the space of absolutely integrable functions on G, is an algebra with respect to the operation of convolution. For any given Lp(G) space with p > 1, though, the situation is emphatically different: a theorem of Saeki states that Lp(G) is a convolution algebra if and only if G is compact. If we introduce within the definition of the Lp-norm a weight function w : G ! (0; 1), we obtain a new function space called the w-weighted Lp-space and denoted by Lp(G; w). By defining the weight function carefully, Lp(G; w) can be made to be stable with respect to convolution even though G is non-compact. However, this raises two fundamental questions: — Given p > 1, what are the locally compact topological groups G on which there exists a weight w such that Lp(G; w) is stable with respect to convolution? — Given such a group G, what condition(s) does w : G ! (0; 1) need to verify in order for Lp(G; w) to be stable with respect to convolution? Thus far, these questions remain unsolved. We shall discuss in detail some partial answers available in the literature, whilst not claiming to be exhaustive. We will be focusing mainly on a problem arising from the second question: it has been established that any weakly subconvolutive weight causes Lp(G; w) to be stable with respect to convolution. But there are numerous examples showing that this sufficient condition is not necessary. There is, however, a type of group, viz. the discrete abelian groups, for which there remains a possibility that weak sub-convolutivity truly characterizes those weights entailing the stability of the Lp-space of functions with respect to convolution. In this thesis, we aim to elaborate new approaches to determine whether the weak subconvolutivity is a necessary and sufficient condition guaranteeing the stability of Lp(G; w) with respect to convolution in the particular case of discrete abelian groups and for p = 2. In the first part of this thesis, we reinterpret this question in light of the theory of reproducing kernel Hilbert spaces, and we obtain a substantially different proof of a theorem of Kuznetsova. The second part of the thesis is devoted to revisiting the main question, but this time, we rephrase it in the context of the operator theory. In doing so, we derive yet another proof of Kuznetsova’s theorem as well as an original estimate.
Type de document: Thèse de doctorat
Date de publication: 2019
Date de la mise en libre accès: 28 octobre 2019
Lien permanent: http://hdl.handle.net/20.500.11794/37080
Université décernant le diplôme: Université Laval
Collection :Thèses et mémoires

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