La stabilité de l'espace des suites de carré sommable par rapport au produit de convolution

Authors: Morneau-Guérin, Frédéric
Advisor: Ransford, Thomas Joseph
Abstract: Étant donné G un groupe topologique localement compact, il est bien connu que l’espace L1(G) des fonctions absolument intégrables sur G est stable par rapport au produit de convolution et jouit même d’une structure d’algèbre de Banach. Mais il en va tout autrement pour les espaces Lp(G) avec p > 1 : le théorème de Saeki stipule que l’espace Lp(G) est stable par rapport au produit de convolution si et seulement si G est compact. Il existe cependant une façon d’infléchir le résultat dans un sens qui nous agrée : en modifiant la définition des normes k kp afin d’y introduire une pondération, à savoir une fonction w : G ! (0; 1), on peut parfois faire en sorte que l’espace ainsi obtenu – qu’on appelle l’espace w-pondéré des fonctions Lp(G) et qu’on note Lp(G; w) – soit stable par rapport au produit de convolution. Cette démarche soulève toutefois deux questions importantes : — Pour p > 1 fixé, quels sont les groupes topologiques localement compacts admettant au moins une pondération pour laquelle Lp(G; w) est stable par rapport au produit de convolution ? — Étant donné un tel groupe G, qu’est-ce qui caractérise les pondérations w : G ! (0; 1) pour lesquelles Lp(G; w) est stable par rapport au produit de convolution ? Bien qu’on ne dispose pas à ce jour de réponses complètes et définitives à ces deux questions, nous passerons en revue quelques récents progrès, sans prétendre à l’exhaustivité. Notre attention se focalisera principalement sur un problème émanant de la deuxième question : il est établi que toute pondération jouissant de la propriété nommée sous-convolutivité au sens faible donne lieu à un espace Lp(G; w) qui est stable par rapport au produit de convolution. Mais on connait désormais de nombreux exemples montrant que cette condition suffisante n’est pas nécessaire en général. Il existe cependant un type de groupes pour lequel la possibilité demeure que la sous-convolutivité au sens faible représente effectivement une caractérisation complète. Il s’agit des groupes abéliens discrets. La présente thèse de doctorat vise à élaborer de nouvelles approches pour aborder la question quant à savoir si, oui ou non, la sous-convolutivité au sens faible est une condition nécessaire et suffisante pour garantir la stabilité de Lp(G; w) par rapport au produit de convolution dans le cas particulier où G est un groupe abélien discret et p = 2. Dans la première partie de cette thèse, nous interprétons cette question à la lumière de la théorie des espaces de Hilbert à noyau reproduisant et obtiendrons une preuve substantiellement différente d’un résultat de Kuznetsova. La seconde partie de la thèse est consacrée à la reformulation de la question principale dans le cadre de la théorie des opérateurs. Ce faisant, nous formulons encore une autre démonstration significativement différente du théorème de Kuznetsova. L’approche développée nous permet également l’obtention d’estimations originales et celles-ci sont présentées en détail.
Document Type: Thèse de doctorat
Issue Date: 2019
Open Access Date: 28 October 2019
Permalink: http://hdl.handle.net/20.500.11794/37080
Grantor: Université Laval
Collection:Thèses et mémoires

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