Les parties k-puissante et k-libre d'un nombre

Authors: Cloutier, Maurice-Étienne
Advisor: De Koninck, Jean-MarieDoyon, Nicolas
Abstract: Dans le cadre de cette thèse, nous nous intéressons à la structure multiplicative des nombres entiers par le biais des deux fonctions arithmétiques sqk(n) :=Ypjjn<kp et powk(n) :=Ypjjnkp; nommées respectivement la partie k-libre de n et la partie k-puissante de n. DXans le premier chapitre, nous évaluons le comportement asymptotique de la sommation nx sqa k(n)powbk (n) pour k 2 fixé et avec différentes valeurs réelles de a et b. Nous obtenons par exemple que X nx sqk(n) = C(k)x2 + O x1+ 1 k tandis que X nx powk(n) = D(k)x1+ 1 k + O x1+ 1 k+1 , d'où nous pouvons conclure que la partie k-libre est fréquemment plus grande que la partie k-puissante. De plus, l'ordre de grandeur de la somme dépend généralement du maximum entre a et b. Dans le deuxième chapitre, nous obtenons divers résultats en lien avec les deux fonctions sqk(n) et powk(n) lorsque k = 2. Nous touchons en particulier à la distribution de leurs valeurs, à la densité des nombres satisfaisant pow2(n) > sq2(n), ainsi qu'à la valeur moyenne asymptotique de ces deux fonctions sur les nombres n'ayant aucun facteur premier plus grand que y, et ce pour différents ordres de grandeur de y. D'ailleurs, nous montrons que l'égalité log 0 BBBBB@ X nx P(n)y sq2(n) x 1 CCCCCA = (1 + o(1)) log 0 BBBBB@ X nx P(n)y pow2(n) x 1 CCCCCA est valide uniquement lorsque y = 2 log x auquel cas nous obtenons que ces expressions sont égales à (1 + o(1)) 2 log 2 log x log log x lorsque x ! 1: Finalement, dans le troisième et dernier chapitre, nous généralisons les résultats du chapitre précédent aux valeurs de k supérieures à 2.

In this thesis, we study the multiplicative structure of integers by using the two arithmetical functions sqk(n) := Y pjjn <k p and powk(n) := Y pjjn k p; named respectively the k-free part of n and the k-full part of n. In the first chapter, we evaluate the asymptotic behavior of the summation X nx sqa k(n)powbk (n) for k 2 fixed and for different real values of a and b. For example, we obtain that X nx sqk(n) = C(k)x2 + O x1+ 1 k while X nx powk(n) = D(k)x1+ 1 k + O x1+ 1 k+1 , which means the k-free part is frequently greater than the k-full part. Furthermore, the order of magnitude of the sum generally depends on the maximum between a and b. In the second chapter, we get various results related to the functions sqk(n) and powk(n) when k = 2. We study in particular the distribution of their values, the density of numbers satisfying pow2(n) > sq2(n), and also the asymptotic mean value of those two functions on the numbers without any prime factor greater than y, and for different values of y. In fact, we show that the equality log 0 BBBBB@ X nx P(n)y sq2(n) x 1 CCCCCA = (1 + o(1)) log 0 BBBBB@ X nx P(n)y pow2(n) x 1 CCCCCA holds only for y = 2 log x. And for this value of y, those expressions are in fact equal to (1 + o(1)) 2 log 2 log x log log x as x ! 1: Finally, in the third and last chapter, we generalize the results of the previous chapter to k greater than 2.
Document Type: Thèse de doctorat
Issue Date: 2018
Open Access Date: 24 April 2018
Permalink: http://hdl.handle.net/20.500.11794/28374
Grantor: Université Laval
Collection:Thèses et mémoires

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