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Résolution de problèmes aux limites à l'aide de méthodes itératives hiérarchiques à préconditionneur variable

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2007
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L'objectif des travaux présentés dans la thèse concerne la résolution par itérations de systèmes algébriques à grande échelle. Ces systèmes sont issus de la discrétisation par éléments finis de problèmes aux limites. Dans la majorité des cas en 3D, la phase de résolution s'avère l'étape la plus exigeante en terme de ressources informatiques. Ainsi, il est impératif de développer des méthodes itératives efficaces et robustes pour un large éventail de problèmes aux limites. Dans cette thèse, nous nous plaçons dans le cadre des méthodes itératives de Krylov à préconditionneur variable, c'est-à-dire autorisant une flexibilité au niveau du choix du préconditionnement en cours d'itération. Nous visons principalement des problèmes de type convection-diffusion, d'élasticité et de Navier-Stokes discrétisés par des éléments finis quadratiques. Afin de réduire les coûts inhérents aux éléments quadratiques, nous proposons une méthode de résolution multi-niveaux basée sur la hiérarchie naturelle entre les éléments finis linéaires et quadratiques d'où le nom de méthode hiérarchique. Elle possède plusieurs points en commun avec les méthodes multi-grilles mais a l'avantage de s'appliquer aux géométries complexes et aux maillages non-structures. L'utilisation de cette méthode comme préconditionneur à une méthode de Krylov à préconditionneur variable permet d'obtenir une méthode très efficace. L'autre partie de la thèse, concerne la résolution globale et itérative des systèmes de type point selle. Ces systèmes proviennent de la discrétisation des équations linéarisées du problème de Navier-Stokes. La résolution efficace de ces systèmes joue un rôle majeur dans le traitement numérique des équations de Navier-Stokes. Pour cela, nous avons mis en place un préconditionneur adroite de format triangulaire par bloc. Pour rendre ce préconditionneur efficace, nous avons fait appel à trois ingrédients : l'ajout du terme rV(div(u)) aux équations continues de Navier-Stokes, une résolution efficace en vitesse par la méthode hiérarchique et une bonne approximation du complément de Schur. Nos tests numériques montrent l'efficacité des méthodes présentées dans ce travail.

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thèse de doctorat