L'objectif principal de ce travail est, d'une part, d'étudier l'image numérique d'un opérateur borné sur un espace de Hilbert H et, d'autre part, d'établir que, pour toute matrice carrée A et pour tout polynôme p : C C, on a ||p(A)||< 11,08 sup \p(z). z€W(A) On prouve aussi que cette inégalité est valide pour n'importe quel opérateur borné A sur H et n'importe quelle fonction p continue sur W(A) et holomorphe en son intérieur. Comme application, on montre que chaque opérateur borné T est semblable à un opérateur ayant une 9l4y (T)-dilatation normale.